KAARIMINUUTTI - MERIPENINKULMA - MERIMAILI Laivuri 1/01
päivitetty 18.12.04

ALUSTUS

Huomautus terminologiasta (09.01.05)
Nykyfysiikan mukaan näyttää yleistyvän, että kappaleiden välisestä vetovoimasta käytetään yleisesti vain nimitystä painovoima (jolla ei ole miinusetumerkkiä). Vuosia sitten on jo luovuttu keskipakois- ja keskihakuisvoimasta, koska tuollaiset voimat on johdettavissa Newtonin liikkeen laeista. Teksteissäni olen kuitenkin säilyttänyt vanhat nimitykset. - Viranomaiset ovat myös vakiinnuttaneet GPS:istä tunnetun termin "Map Datum" suomennokseksi hieman oudolta tuntuvan nimityksen: "Koordinaattijärjestelmä". Teksteissäni olen käyttänyt edelleenkin termiä: Karttajärjestelmä.

Mikäli maapallo olisi niinkin pyöreä, sileä ja homogeeninen kuin biljardipallo, olisi maapallon kartoittaminen paljon yksinkertaisempaa kuin mitä se nyt on. GPS-navigointilaite yhtenä merkittävänä tekijänä onkin tuonut uusia paikanmääritykseen liittyviä kysymyksiä tavallisen veneilijän pohdittavaksi.

Maapallo on aikoinaan ollut sulassa muodossa. Sen pinta on meidän päiviimme mennessä jäähtynyt ja muodostanut maapallolle kiinteän kuoren. Maapallo on jäähtyessään saanut painovoiman vaikutuksesta nykyisen muotonsa, jota kutsutaan geoidiksi. Geoidille ominaista on se, että painovoima kohdistuu joka kohdassa maapalloa kohtisuoraan maapallon pintaa vasten. Painovoima on taas voima, joka koostuu massojen välisestä vetovoimasta, maan pyörimisestä aiheutuvasta keskipakoisvoimasta ja, laajemmassa mielessä, myös vuorovesivoimasta.

Jotta maapallon kartoittaminen ja maapallolla paikannus olisi mahdollista, korvataan maapallon todellinen muoto yleisesti ellipsoidilla. Ellipsoidia voidaan nimittäin kuvata matemaattisella yhtälöllä, mikä ei ole mahdollista geoidille. Lisäksi erilaisista geometrisista muodoista ellipsoidi on rakenteeltaan varsin lähellä geoidia.

Maapallon pintaa myötäileviä ellipsoideja on nykyisin käytössä useita erilaisia. Mittauslaitteiden kehittyessä maapallon mitat on voitu määrittää yhä tarkemmin ja sen myötä ellipsoidien lukumäärä on lisääntynyt. Lisäksi määrätyn muotoinen ellipsoidi myötäilee jollakin kohdalla maapallon pintaa mahdollisesti paremmin kuin toisen muotoinen. Ellipsoidien keskipisteitä voidaan myös sovittaa useisiin eri paikkoihin, jotta ellipsoidit vastaisi tarkemmin kartoitettavia alueita tai jopa aikaisemmin tehtyjä karttoja. Maapallon mittoihin nähden eri ellipsoidien muodot poikkeavat kuitenkin vain vähän toisistaan.

Kutakin ellipsoidia vastaa oma karttajärjestelmänsä, jonka mukaan tehdyllä kartalla pisteen koordinaatit poikkeavat toisilla karttajärjestelmillä tehtyjen karttojen koordinaateista.

Merellä ja ilmassa sijainti ilmaistaan yleisesti maantieteellisen koordinaatiston avulla. Sen koordinaatteina ovat leveys- ja pituusasteet sekä korkeus.

Niin kuin metri sidottiin aikoinaan maapallon mittoihin, ruvettiin merelläkin käyttämään pituusmittana meridiaanin kaariminuuttia, joka sai nimekseen meripeninkulma eli lyhyemmin ilmaistuna merimaili. - Sekä metrin että merimailin määritelmää on myöhemmin jouduttu tarkentamaan.

FYSIKAALISIA TIETOJA

Maapallo on litistynyt navoiltaan noin 20 km. On myös todettu, että päiväntasaajan kohdalla maapallon säde ei ole joka puolella yhtä suuri, vaan ero on noin 200 m. Tämä johtuu siitä, että maapallon massa ei ole jakautunut tasaisesti. Vuorovesivoimakin muuttaa maapallon muotoa omalla rytmillään noin metrin kolmanneksen verran. Viite: William G. van Dorn: "Oceanography and Seamanship"

Satelliitit lähettävät tiedon sijainnistaan maapallon massakeskeisen suorakulmaisen koordinaatiston koordinaatteina (X, Y, Z). Satelliiteilta saamansa tiedon perusteella GPS:ät laskevat ja ilmoittavat oman sijaintinsa muodossa, jonka oletusarvo on WGS-84 -ellipsoidi ja maantieteelliset koordinaatit.

Maantieteellistä koordinaatistoa varten on tehty muun muassa seuraavat sopimukset:

Satelliitit kiertävät maan massakeskipisteen ympäri kutakuinkin ympyrän muotoisella radalla. Aurinkotuulen sekä auringon ja kuun vetovoiman vaikutus kiertorataan on huomioitu satelliitin tiedottamassa sijainnissa. Maata ympäröivän sähköisen kentän (ionosfäärin) ja ilmakehän aiheuttamaa virhettä ei ole huomioitu siviilikäyttöön tarkoitetussa paikannuksessa.

Maapallon geoidimuodon korvaaminen ellipsoidilla aiheuttaa todennäköisesti vain niin pienen virheen, että se näkyy ainoastaan GPS:ien korkeuslukemissa. Suomen peruskartoissa korkeus ellipsoidin pinnasta on noin 20 metriä suurempi kuin 0-pinnasta mitattu korkeus.

FYSIKAALINEN SEURAUS

Maapallon ja sitä kuvaavan ellipsoidin muodosta johtuu, että kaariminuutin pituus joka kohdassa meridiaania ei voi olla yhtä suuri. Leveyspiirin määrityksestä johtuu taas, että tarvitaan verraten monimutkainen yhtälö, joka esittää matemaattisessa muodossa meridiaanin kaariminuutin pituuden. Tämä johtuu siitä, että meridiaanin kaarevuussäteen pituus ja säteen keskipiste muuttuvat paikan mukana.

Mutta tehtävän ratkaisun voi aina kiertää, kuten tehdään esimerkiksi tähtitieteellisessä paikanmäärityksessä kun käytetään korkeusmenetelmää. Tässäkään tapauksessa ratkaisuyhtälön esittäminen ei ole tarpeellinen, jos kaariminuutteja vastaavan kaaren pituuserot voidaan muuten todeta. Eräs tällainen ratkaisu löytyy muun muassa kotisivultani.

TULOS

Suomalaisten meri- ja peruskarttojen karttajärjestelmä perustuu Finland Hayford -ellipsoidiin. (Muutostyö uuteen EUREF-FIN -karttajärjestelmään on meneillään.)

Seuraava taulukko esittää, miten esimerkiksi WGS-84- ja Hayford-ellipsoidin kaariminuutin pituus muuttuu. Taulukossa kerrotaan kaariminuutin pituus kymmenen leveysasteen välein sekä metreinä että meripeninkulmina.

WGS-84

-ellipsoidi

Hayford

-ellipsoidi

Leveys-

Kaari

minuutti

Kaari

minuutti

asteet

m

mpk

m

mpk

00

1842,905

0,99509

1842,925

0,99510

10

1843,464

0,99539

1843,486

0,99540

20

1845,073

0,99626

1845,102

0,99628

30

1847,543

0,99759

1847,583

0,99761

40

1850,580

0,99923

1850,633

0,99926

50

1853,820

1,00098

1853,887

1,00102

60

1856,874

1,00263

1856,953

1,00267

70

1859,369

1,00398

1859,459

1,00403

80

1861,000

1,00486

1861,097

1,00491

90

1861,566

1,00517

1861,666

1,00522

Edellä esitetyn taulukon arvoja tukevat GPS:ien lukemat: päiväntasaajalla meridiaanin kymmenen asteen pituus on 597 ja navoilla 603 merimailia. Myös Sigurd Hummerfelt kotisivullaan esittää WGS-84 -ellipsoidin kaariminuutin pituudet, jotka vastaavat tarkkaan edellä taulukoituja WGS-84:n lukuja. Hän ei kuitenkaan kerro käyttämäänsä laskumenetelmää. Viite: http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm

Laivurikursseilla opetettiin, että meridiaanin kaariminuutin pituus on yksi merimaili, ja sitähän se käytännössä onkin. Kursseilla ei ehkä pidetty tarpeellisena mainita, että kaariminuuttia vastaavan kaaren pituus päiväntasaajalta navoille mentäessä pitenee noin 20 metriä. Merimailin pituus on jo vuonna 1954 kansainvälisesti määritetty 1852 metriksi. Voitaneen ajatella, että meridiaanin kaariminuuttia nimitettäisiin merimailiksi ja kiinteää pituutta 1852 metriä sanottaisiin meripeninkulmaksi.

SIVUAVA AIHE

Tämän artikkelin puitteissa voidaan myös mainita, mitä muuta erikoista liittyy niihin karttajärjestelmiin, joiden ellipsoidi ei ole maapallokeskeinen. Esimerkiksi Finland Hayfordissahan sanalla Finland korostetaan, että suomalainen karttajärjestelmä on yksi monien sellaisten karttajärjestelmien joukossa, jolla ellipsoidin keskipiste on eri paikassa kuin kenelläkään muulla.

Kaikilla karttajärjestelmillä - riippumatta ellipsoidien keskipisteen paikasta - pitäisi ellipsoidien akselit olla keskenään yhdensuuntaisia. Jollei näin olisi, oltaisiin hallitsemattomassa tilanteessa siirrettäessä koordinaatteja järjestelmästä toiseen - tai mitattaessa taivaankappaleiden korkeutta.

Kun GPS:llä vertaa esimerkiksi Finland Hayford -karttajärjestelmää WGS-84 -ellipsoidiin perustuvaan karttajärjestelmään, voidaan esimerkiksi todeta seuraavaa:

Sijainti Finland

Vastaava sijainti

Hayford -järjestelmässä

WGS-84 -järjestelmässä

päiväntasaaja, 90 L

0,053' P, 89 59,958' L

0-meridiaani

Greenwichistä 0,125' itään

päiväntasaaja

0,053' P

pohjoisnapa

89 59,958' P, 167 38,280' I

etelänapa

89 59,958' E, 167 38,280' I

Kun muutetaan kaariminuutit metreiksi, voidaan edellisistä lukemista hahmottaa myös Finland Hayford -ellipsoidin keskipisteen paikka:

0,042' = 77,4 m
0,125' = 232,9 m
0,053' = 98,7 m

Nämä arvot oikean etumerkin kanssa vastaavat hyvin GPS:ien tarkkuuden puitteissa Finland Hayford -ellipsoidin keskipisteen paikkaa maan massakeskipisteeseen nähden, eli X = -74,8 (-78), Y = -229,2 (-231) ja Z = -90,4 (-97).

Suluissa olevat luvut ovat olleet voimassa 1989-96. Tuloksesta voidaan myös todeta, että ellipsien pyörähdysakselit ovat GPS:ien mukaan yhdensuuntaiset. Vuodesta 1997 alkaen on suomalaisen karttajärjestelmän parametreiksi esitetty tarkistetut arvot, jolloin myös on todettu, etteivät ellipsoidin akselit verrattuna WGS-84:ään ole sittenkään yhdensuuntaiset.

Edellä oleva aihe alkaa piakkoin olla historiaa, kun Suomessa siirrytään Hayfordin vertailuellipsoidista EUREF-FIN -järjestelmään. Tämä järjestelmä perustuu GRS80-vertailuellipsoidiin. GRS80-ellipsoidi poikkeaa erittäin vähän WGS84-ellipsoidista, ettei sillä ole käytännön merkitystä. WGS84-Map Datumia voidaan siten GPS:issä huoletta käyttää.