KAARIMINUUTIN PITUUS 26.10.2000
päivitetty 18.12.04

Tarkoitus

Tässä artikkelissa on tarkoitus analysoida kaariminuutin pituutta. Analyysi rajataan alla tarkennettuihin tapauksiin.

Tarkastellaan eri karttajärjestelmien ellipsoideja ja niiden meridiaaneja. Tarkoitus on todeta, onko kaariminuutin rajaaman ellipsin kaariosan pituus riippuva kohdasta, jossa tarkasteltava kaari sijaitsee, ja mikä on sen mahdollisen poikkeaman ääriarvot.

Kulman kyljet, jotka määrittävät kaariminuutin, ovat ellipsin normaaleja (= kohtisuorassa ellipsin kaarta vasten), ja kulman suuruus, joka määrittää tarkastettavan kohdan, on normaalin ja ellipsin pääakselin muodostama kulma.

Tehtävän ratkaisu ja yleispätevyys

Tässä tarkastelussa ei ole tarpeen johtaa yhtälöä, joka kertoo, kuinka kaariminuutin pituus muuttuu ellipsin kehällä olevan mielivaltaisen pisteen funktiona. Tähän tarkoitukseen riittää ellipsin neljänneskaarella määrävälein tehty tarkastelu. Toisin sanoen: mennäksemme sieltä, missä aita on matalin, ei tehtävän ratkaisemiseksi tarvita differentialiyhtälöitä. Yleispätevyys säilyy, kun tehtävä ratkaisuun sisältyvät parametrit a (= ellipsin pääakselin puolisko) ja b (= ellipsin pikkuakselin puolisko).

Toteutus

Ellipsin yhtälö on

(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1

Ellipsin normaalin kulmakerroin pisteessä (x,y) on

t = a^2*y/(b^2*x)

Yhtälöissä merkki * on kertomerkki (käytetään muutamissa kohdin selventämään yhtälöä) ja ^ potenssiin korotuksen merkki. Ellipsin yhtälöstä saadaan ratkaistua

y = b(1 - (x/a)^2)^(1/2)

joka sijoitettuna kulmakertoimen yhtälöön antaa

t = a/b*((a/x)^2 - 1)^(1/2)

t on paitsi normaalin kulmakerroin, niin myös = kulman tangentti. Kulmakertoimen (= tangentin) yhtälöstä saadaan ratkaistua

x = a((t*b/a)^2 + 1)^(-1/2)

Kun kulman tangentti = t sijoitetaan yhtälöön, saadaan sitä vastaava x. Arvo x lasketaan kymmenen asteen välein luvuille 0,01, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 ja 89,9. Ensimmäinen ja viimeinen luku ovat tarkoituksella = 0,01 ja = 89,9, koska siten voidaan välttyä trigonometristen funktioiden riesasta, että jakajana jossain vaiheessa on nolla.

Seuraavaksi x lasketaan tangentin arvoilla, jotka saadaan edellä mainituista luvuista, kun niihin on lisätty 1/60 (= minuutti asteina).

Tämän jälkeen ellipsin yhtälöstä ratkaistaan x:n arvoja vastaavat y:n arvot. Näin on ellipsin kehän neljänneksellä saatu kutakin 10 kaariastetta kohti kaksi pistettä, joiden etäisyys on yksi kaariminuutti.

Kaariminuutteja vastaavan kaariosan pituuden laskemiseen metreinä tai muina yksikköinä voidaan käyttää Pythagoraan lausetta: hypotenuusan neliö = kateettien neliöiden summa. Kaaren korvaaminen suoralla aiheuttaa laskussa niin pienen virheen, että se tuskin havaitaan. Pienen virheen maastoon nähden aiheuttaa jo sekin, että maapallon geoidimuoto on korvattu ellipsoidilla!

Edellä kerrotut laskutoimitukset on yksinkertaisinta tehdä Excelillä. Alla on taulukko, miten karttajärjestelmällä WGS84 kaariminuutin matkan Akeskiarvo@ 1852 metriä vaihtelee päiväntasaajalta navoille noin 1843:sta 1862:een. - Käsittääkseni GPS:t ottavat tämän eron huomioon. Toisin sanoen meridiaanin kaariminuutin pituus ei ole kaikkialla yhtä kuin meripeninkulma. (Meripeninkulman pituus on kansainvälisesti sovittu 1852 metriksi.)

Taulukossa arvo 1/f ei ole aivan sama kuin mitä yleisesti taulukoissa on mainittu. Ero johtuu siitä, että Excelin laskentatarkkuus ei ilmeisesti riitä merkittäviltä numeroiltaan näin suurien lukujen käsittelyyn.

LÄHTÖARVOT

a

b

1/f

WGS84

6378137

6356752,314

298,2572229

LATITUDI aste

Kaariminuutti m

Minuutti/1852 m

0,01

1842,904594

0,995088874

10

1843,463667

0,995390749

20

1845,073196

0,996259825

30

1847,543043

0,997593436

40

1850,579872

0,999233192

50

1853,820403

1,000982939

60

1856,873811

1,002631648

70

1859,368834

1,003978852

80

1860,999936

1,004859576

89,9

1861,566271

1,005165373

Voit imuroida Excel-taulukkoon tutustumista varten taulukon, jossa Taul1:ssa on esitetty Hayford- ja Taul2:ssa WGS84-ellipsoidilla saadut mitat.

Uutta teoriaa

Empiiristä tietä voidaan päätyä tulokseen, että ellipsoidin kaartosäde on navoilla rb = (a^2)/b ja päiväntasaajalla ra = (b^2)/a. Tämä on mielestäni mahdollista myös teoreettisesti osoittaa (kunhan ehdin). Näiden mukaan meridiaanin "kaariminuutin pituudet" olisivat vastaavasti mb = Pii*2 rb/(360*60) ja ma = Pii*2 ra/(360*60) ja niiden keskiarvo mk = ma/2 + mb/2.

Empiirisesti voidaan myös arvata, että kaariminuutin pituus ellipsoidin meridiaanilla noudattaa sinikäyrää latituudin (= LAT) funktiona ja siten olisi minuutti = (1/2)*(mb - ma) sin(2*LAT - 90) + mk. Tämän yhtälö oikeaksi todistaminen onkin sitten vaikeampi asia, vaikka tulokset ovat edellä olevien taulukkojen likimääräisten pituuksien kanssa yhden mukaiset.